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起鼓沖孔板關鍵詞:三角形沖孔網 標題:從三角形的面積公式談起起鼓沖孔板 來源:知乎 文章內容: 我們的自由思想的數學之旅將從三角形的面積公式開始談起，將陸續為讀者推導出近百個三角形的面積公式，本文先從最常用最基本的公式開始講起。 在開始之前，先約定一下與三角形相關的一些量的符號記法，在以后的文章中，若沒有特殊說明的情況下，這些記號都是表達相同的意思。 如上圖所示，三角形ABC，記a，b，c為三邊的長，A，B，C為三個對應的三個內角的大小，R表示外接圓半徑，r表示內切圓半徑，p表示周長的一半，即，表示其面積，，，表示對應邊上的高，，，表示對應邊上的中線長，，起鼓沖孔板，表示對應角的角平分線長。 如上面的三角形高線圖所示，首先，我們能夠想到的三角形面積公式是底乘高的一半，即 我們記為公式一。 公式一在小學的課本上就知道了，它是這么得來的。面積的概念既是數學上的，也是物理上的，其定義大致就是物體所占的平面圖形的大小。并定義邊長為1的正方形的面積為一個單位面積，以此來衡量其它平面圖形的面積大小。因此，很自然地就能知道正方形的面積就是邊長的平方，長方形的面積是長乘以寬，平行四邊形的面積可以通過割補形成等價的長方形，于是面積就是底乘以高，而兩個全等的三角形可以拼成一個平行四邊形，于是其面積自然就是底乘以高的一半。 利用三角函數可以將高用邊和角的三角函數求出，很明顯，，這樣就會有 我們記為公式二。 在探討下一個三角形的面積公式之前，我們順起鼓沖孔板便證明一下正弦定理。 如上圖所示，AD為直徑，所以∠ACD=90°，由同弧所對圓周角相等，所以∠B = ∠D，從而有，，同理有，于是就有，這便是正弦定理。 實際上，正弦定理壓根底不需要額外的工具來證明，在高中課本里，為了表達向量的作用，使用了向量來證明，其實要得到正弦定理，由公式二便可以直接得起鼓沖孔板到了，因為在推導公式二時，我們已經得到了，所以，所以，同理有：，我們之所以給出上面的證明，目的在于引出其中的幾何意義以及三角形外接圓半徑R。 三角形的外接圓是由它三條邊上的垂直平分線交于一點得來的，并且在初中我們就已經證明了，任何一個三角形都有唯一一個外接圓，這樣，外接圓就成了與三角形綁定的一種特性，是三角形幾何中必不可少的重要組成元素，直接由它就聯系了三角形與圓這兩種幾何圖形。外接圓，以及后面將要說到的內切圓，給我們的啟示是：一個事物原本的屬性可能會聯系著另一個事物的屬性，更可能驚奇地發現它們之間存在一種類似于函數的對應關系。如果把三角形看做是自變量，外接圓或者是內切圓看成是因變量，這種對應關系和函數關系一樣。我們傳統中的函數定義，自變量是數，因變量也是數，那么這種幾何圖形與幾何圖形的對應關系，或許可以有一個專業的名詞，叫做“泛函”，確切的來說，應該只能用“映射”一詞，以免和數學中專業的泛函概念產生誤解。學過編程的讀者或許知道，在C#、Java中就有泛型這一概念，而“泛”這個字的含義就是廣泛、泛化的意思，于是泛型就是可以代表許多類型的意思，而不只是一種類型的變量，那么泛函也就是這個意思，泛函的自變量和因變量理論上可以是任何對象，可以是數，也可以是幾何圖形，更有可能是函數本身。關于泛函的問題，尤其是幾何圖形與幾何圖形之間的對應關系的問題，日后，我們還會在別的文章里詳細說明，本文就不再多說了。 將正弦定理帶入公式二中，消去sinC，則有： 記為公式三。 將正弦定理帶入到公式二中，消去a，b，于是有： 記 為公式四。 如上面的三角形ABC內切圓圖所示，對三角形ABC進行分割，其面積可以分成三個小三角形面積之和，即： 記 為公式五。 在內切圓圖中，有，，，帶入公式五中，則有： 記為公式六。 內切圓是由三角形的三條角平分線的交點所得來的，它和外接圓一樣是一個三角形唯一的一個屬性，因此也就成了與邊長和角度一樣重要的量。利用內切圓的圓心和圓的半徑垂直于切線的性質，將三角形分割為三個可求解面積的小三角形，這種分割法求面積是最常用的求解方法之一，基本思想就是將未知的圖形面積轉化為已知圖形的面積，將大圖化小圖，將大問題分解為小問題，直到我們可以求解為止，這樣的思想并不局限于幾何求面積，也不局限與數學問題，在生活中，這都是一個很重要的方法。 對公式五帶入正弦定理有： 記為公式七。 利用余弦定理我們可以將角轉化為邊，由，可以得到 所以 記 為公式八，此式又稱為秦九韶公式。 我們對秦九韶公式進行一些變換： （平方差公式） 當我們遇到三角形三邊和與差的問題時，記住這個變形的公式，往往會給解題帶來新的思路和便捷。 秦九韶公式還可以經過變換得到一個形式很整齊的公式，叫做海倫公式，形式如下： p即是半周長。我們將此式子記為公式八。 為了完整起鼓沖孔板，我們逆向證明一下這個公式。 由于 由余弦定理，代入上式得： = 上式結果為公式二，證畢。 將秦九韶公式完全展開整理可得：。 由于三角形就是三條線段所圍成的圖形，也是平面幾何，乃至立體幾何中，都是屬于最簡單的一種封閉圖形，因此它的地位可以說是幾何的基石。既然三條線段就可以決定了一個三角形的形狀（關于三角形形狀的確定，我將會在另外的文章里詳細說明），那么它的面積自然就一定可以用三條邊長來給出，于是秦九韶公式就很自然地成為研究對象了，但是到具體應用的時候，往往需要變形得到新的公式，雖然秦九韶公式和海倫公式本質上是一樣的，但是到了具體求解問題時，它們卻會有著不同的用途，因此，我們需要有一種變形變通的能力，對應于生活也一樣，同一件事物，或者本質一樣的事物，其表現形式不同，也會有不同的用處，或者是不同的解決方案。 由公式一和公式二， 于是 記為公式九。 對比公式三和公式五，可以得出，帶入上式，便有： 記為公式十。 類似于公式十這樣的公式，看起來好像沒用，因為其中包含了a、b、c、A、B、C全部的量，若要是知道了這么多的量，面積早就由公式二、公式八得出了，哪里還需要這個？其實不然，公式十表達的意思是：當我們知道了三邊的乘積，三邊的和，以及三個角的正弦值之和，這三個量時起鼓沖孔板，我們就可以直接求解面積了，而不需要知道邊長和角度的具體值。 總結：以上公式所涉及的量都是三角形中最為常用的量，即邊長和角度，所推導出的三角形面積公式也是常用的公式，其中公式一、公式二、公式五、公式七最為常用，而公式四和公式六將會在日后的文章里表現出特別的意義。起鼓沖孔板